図心の求め方｜長方形・三角形・複合図形の計算手順を例題付きで解説

図心は構造力学の基本であり、断面の曲げ計算や断面二次モーメントの算出に欠かせない概念です。この記事では、図心の定義から長方形・三角形・L字形などの具体的な計算手順まで、例題付きでわかりやすく解説します。

図心とは？重心との違い
図心の求め方：基本公式
基本図形の図心位置
例題①：長方形断面の図心
例題②：T形断面（フランジ＋ウェブ）の図心
例題③：L形断面（くり抜きを使う方法）
AutoCADで図心を確認する方法
まとめ：図心計算の手順

図心とは？重心との違い

	図心（断面重心）	重心
定義	断面形状の幾何学的中心	物体の質量分布の中心
依存するもの	形状のみ	形状＋材料の密度
使う場面	断面計算（曲げ応力・たわみなど）	力学的釣り合い・慣性

均一な材料（一様な密度）の場合、図心と重心は一致します。構造力学では「図心」、一般力学では「重心」と呼び分けることが多いです。

図心の求め方：基本公式

複数の図形を組み合わせた断面の図心座標（x̄, ȳ）は次の公式で求めます。

x̄ = (A₁x₁ + A₂x₂ + … + Aₙxₙ) / (A₁ + A₂ + … + Aₙ)
ȳ = (A₁y₁ + A₂y₂ + … + Aₙyₙ) / (A₁ + A₂ + … + Aₙ)

A：各図形の面積
x, y：各図形の図心のx座標、y座標

基本図形の図心位置

図形	図心の位置
長方形（幅b × 高さh）	中心（b/2, h/2）
三角形（底辺b × 高さh）	底辺から高さの1/3の位置（h/3）
円（半径r）	中心（0, 0）
半円（半径r）	直径から 4r/3π ≈ 0.424r の位置
台形（上辺a、下辺b、高さh）	底辺から h(2a+b) / 3(a+b) の位置

例題①：長方形断面の図心

問題：幅 60mm × 高さ 80mm の長方形断面の図心を求める。基準点は左下隅。

面積 A = 60 × 80 = 4,800 mm²
x̄ = 60 / 2 = 30 mm
ȳ = 80 / 2 = 40 mm

図心：(30, 40)

例題②：T形断面（フランジ＋ウェブ）の図心

問題：フランジ（幅100mm × 高さ20mm）＋ウェブ（幅20mm × 高さ80mm）のT形断面。基準点は断面の左下隅。

【ウェブ】（下部 高さ0〜80mm）
A₁ = 20 × 80 = 1,600 mm²
y₁ = 80 / 2 = 40 mm

【フランジ】（上部 高さ80〜100mm）
A₂ = 100 × 20 = 2,000 mm²
y₂ = 80 + 20/2 = 90 mm

【図心計算】
ȳ = (A₁y₁ + A₂y₂) / (A₁ + A₂)
  = (1,600×40 + 2,000×90) / (1,600 + 2,000)
  = (64,000 + 180,000) / 3,600
  = 244,000 / 3,600
  ≈ 67.8 mm（底辺から）

例題③：L形断面（くり抜きを使う方法）

複雑な形状は「大きい図形 − くり抜き部分」として計算できます。面積に負の値を使います。

問題：幅80mm × 高さ80mm の正方形から、右上の 60mm × 60mm を切り抜いたL形断面。基準点は左下隅。

【全体の正方形】
A₁ = 80 × 80 = 6,400 mm²
x₁ = 40 mm, y₁ = 40 mm

【くり抜き部分（右上）】
A₂ = −(60 × 60) = −3,600 mm²
x₂ = 80 − 60/2 = 50 mm
y₂ = 80 − 60/2 = 50 mm

【図心計算】
x̄ = (6,400×40 + (−3,600)×50) / (6,400 − 3,600)
  = (256,000 − 180,000) / 2,800
  = 76,000 / 2,800 ≈ 27.1 mm

ȳ = (6,400×40 + (−3,600)×50) / 2,800
  ≈ 27.1 mm（対称形のためx̄と同じ）